Question

19．已知正項數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項的和為S_n，且滿足：當(dāng)n≥2時，a_n=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$．
（1）證明：數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列．
（2）若數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}前n項的和為T_n，求T_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時，a_n=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，可得S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$．又?jǐn)?shù)列{a_n}的各項為正數(shù)，可得$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，即可證明．
（2）由（1）可得：可得S_n．可得a_n．再利用“裂項求和”即可得出．

解答 （1）證明：∵當(dāng)n≥2時，a_n=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，∴S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$．
又?jǐn)?shù)列{a_n}的各項為正數(shù)，∴$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$＞0．
∴$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，
∴數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}為等差數(shù)列，首項為1，公差為1．
（2）解：由（1）可得：$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n，可得S_n=n²．
∴當(dāng)n≥2時，a_n=$\sqrt{{n}^{2}}+\sqrt{（n-1）^{2}}$=2n-1，
當(dāng)n=1時也成立，
∴a_n=2n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}前n項的和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．