Question

對于正實數(shù)a，函數(shù)y=x+

a

x

在（

3

4

，+∞）上為增函數(shù)，求函數(shù)f（x）=log_a（3x²-4x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：利用證明單調(diào)性的定義法得到關(guān)于參數(shù)的不等式，化簡成不等式恒成立的情況，求出參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)參數(shù)的取值范圍判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：∵y=x+

a

x

在（

3

4

，+∞）上為增函數(shù)．
∴

3

4

＜x₁＜x₂時y₁＜y₂，
即x₁+

a

x1

-x₂-

a

x2

=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

＜0?x₁x₂-a＞0?a＜x₁x₂在

3

4

＜x₁＜x₂時恒成立，∴a≤

9

16

，
f（x）=log_a（3x²-4x）的定義域為
（-∞，0）∪（

3

4

，+∞），而0＜a≤

9

16

＜1，
∴f（x）與g（x）=3x²-4x在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上的單調(diào)性相反，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

4

3

，+∞）．
答：f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

4

3

，+∞）．

點評：本考點考查函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求參數(shù)，以及求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解本題判斷出參數(shù)的取值范圍是關(guān)鍵．