Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右頂點(diǎn)A（2，0）
（1）求橢圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得過M的直線l交橢圓于B、D兩點(diǎn)，且k_AB•k_AD=-$\frac{3}{4}$恒成立？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2，運(yùn)用離心率公式，可得c，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)M（m，0），使得過M的直線l交橢圓于B、D兩點(diǎn)，且k_AB•k_AD=-$\frac{3}{4}$恒成立．設(shè)直線l為y=k（x-m），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合恒成立，可得m的方程，即可判斷是否存在定點(diǎn)．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=2，a²-b²=c²，
解得b=c=$\sqrt{2}$，
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)M（m，0），使得過M的直線l交橢圓于B、D兩點(diǎn)，
且k_AB•k_AD=-$\frac{3}{4}$恒成立．
設(shè)直線l為y=k（x-m），代入橢圓方程可得（1+2k²）x²-4mk²x+2k²m²-4=0，
由△＞0即16m²k⁴-4（1+2k²）（2k²m²-4）＞0，
化簡(jiǎn)得2（1+2k²）＞k²m²，
設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），即有x₁+x₂=$\frac{4m{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
由k_AB•k_AD=-$\frac{3}{4}$，即為$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=-$\frac{3}{4}$，
結(jié)合y₁=k（x₁-m），y₂=k（x₂-m），
可得（3+k²）（x₁x₂）-（6+4k²m）（x₁+x₂）+12+4k²m²=0，
即有（3+k²）•$\frac{2{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$-（6+4k²m）（$\frac{4m{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）+12+4k²m²=0，
化簡(jiǎn)可得k²（5m²-12m+12）=0，由k為任意實(shí)數(shù)，可得：
5m²-12m+12=0，由△=144-240＜0，則m無實(shí)數(shù)解．
故在x軸上不存在定點(diǎn)M（m，0），使得過M的直線l交橢圓于B、D兩點(diǎn)，
且k_AB•k_AD=-$\frac{3}{4}$恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查定點(diǎn)垂直問題的解法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．