Question

有一橢圓形溜冰場(chǎng)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)100 m，短軸長(zhǎng)60 m，現(xiàn)要在這個(gè)溜冰場(chǎng)上劃定一個(gè)各頂點(diǎn)都在溜冰場(chǎng)邊界上的矩形區(qū)域，且使這個(gè)區(qū)域的面積最大，應(yīng)把這個(gè)矩形的頂點(diǎn)定位在？這時(shí)矩形的周長(zhǎng)是多少？

Answer 1

解：分別以橢圓的長(zhǎng)軸、短軸各自所在的直線為x 軸和y 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy ，設(shè)矩形ABCD 的各頂點(diǎn)都在橢圓上．
因?yàn)榫匦蔚母黜旤c(diǎn)都在橢圓上，而矩形是中心對(duì)稱圖形，又是以過(guò)對(duì)稱中心且垂直其一邊的直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，所以矩形ABCD關(guān)于原點(diǎn)O及x軸，y軸都對(duì)稱，
已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=100 m，短軸長(zhǎng)2b=60 m，
則橢圓的方程為
設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x₀，y₀)，x₀>0，y₀>0，
則，得
根據(jù)矩形ABCD的對(duì)稱性，可知它的面積S=4x₀y₀．
由于
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)S也取得最大值．
這時(shí)
矩形ABCD的周長(zhǎng)為4(x₀+y₀)=(m).
因此，在橢圓形溜冰場(chǎng)的兩側(cè)分別畫一條與短軸平行且與短軸相距m（約35. 36m）的直線，這兩條直線與橢圓的交點(diǎn)就是所劃定的矩形區(qū)域的頂點(diǎn)；這個(gè)矩形區(qū)域的周長(zhǎng)為m(約226.27 m).