Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-alnx，g（x）=x+$\frac{1+a}{x}$-e^x．
（1）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），求函數(shù)h（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=1，求證：f（x）＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）當(dāng)a=1時求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)$m（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，推出結(jié)果．

解答 解：（1）$h（x）=f（x）+g（x）=x-alnx+\frac{1+a}{x}$，定義域為（0，+∞），
所以$h'（x）=1-\frac{a}{x}-\frac{1+a}{x^2}$，
因為x+1＞0，則令x-1-a=0，得x=1+a，
若1+a≤0，即a≤-1，則h'（x）＞0，則h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
若1+a＞0，即a＞-1時，x∈（0，1+a），h'（x）＜0；
x∈（1+a，+∞），h'（x）＞0，則h（x）在（0，1+a）上為減函數(shù)，在（1+a，+∞）上為增函數(shù)．
綜上所述，a≤-1時，h（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
a＞-1時，h（x）的減區(qū)間為（0，1+a），增區(qū)間為（1+a，+∞）．
（2）證明：當(dāng)a=1時，f（x）=e^x-lnx（x＞0），
則$f'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，令$m（x）={e^x}-\frac{1}{x}$，則$m'（x）={e^x}+\frac{1}{x^2}$＞0，
所以f'（x）=m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
而$f'（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-2＜0$，f'（1）=e-1＞0
所以存在唯一的${x_0}∈（\frac{1}{2}，1）$，使得f'（x₀）=0，即${e^{x_0}}-\frac{1}{x_0}=0$，且lnx₀=-x₀，
所以f（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞增，（x₀，+∞）上單調(diào)遞減，
所以$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}=\frac{1}{x_0}+{x_0}＞2$，
所以若a=1時，f（x）＞2．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查構(gòu)造法以及轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想的應(yīng)用，考查計算能力．