Question

13．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x，且過點$（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）斜率為k且過點P（1，2）的直線l與雙曲線C有兩個公共點，求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，試判斷以Q（1，1）為中點的弦是否存在？若存在，求出其所在直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x，且過點$（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$，建立方程，求出a，b，即可求雙曲線C的標準方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-1），即y=kx+2-k，與雙曲線方程聯(lián)立，利用直線l與雙曲線C有兩個公共點，建立不等式，即可求k的取值范圍；
（3）假設(shè)存在，設(shè)出直線與雙曲線的兩個交點，代入雙曲線方程后利用點差法求斜率，從而得到假設(shè)不正確．

解答 解：（1）∵雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x，且過點$（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}-\frac{2}{^{2}}=1$，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線C的標準方程為${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$----------------------------（3分）
（2）設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-1），即y=kx+2-k，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2-k\\ 2{x^2}-{y^2}=2.\end{array}\right.$得（k²-2）x²-2（k²-2k）x+k²-4k+6=0．----------------（5分）
∵直線l與C有兩個公共點，
∴得$\left\{\begin{array}{l}{k^2}-2≠0\\△=4{（{k^2}-2k）^2}-4（{k^2}-2）（{k^2}-4k+6）＞0.\end{array}\right.$
解之得：k＜$\frac{3}{2}$且$k≠±\sqrt{2}$．
∴k的取值范圍是$（-∞，-\sqrt{2}）∪（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）∪（\sqrt{2}，\frac{3}{2}）$．-----------------------------（8分）
（3）設(shè)以Q（1，1）為中點的弦存在，該直線與雙曲線交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點
$\left\{\begin{array}{l}2x_1^2-y_1^2=2\\ 2x_2^2-y_2^2=2\end{array}\right.$，作差得k_MN=2--------------------------------------------------（11分）
由（2）可知，k=2時，直線l與C沒有兩個公共點，
∴設(shè)以Q（1，1）為中點的弦不存在．----------------------------（12分）

點評 本題是直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了雙曲線的方程，考查判別式法判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)，訓練了利用點差法求中點弦所在直線的斜率，屬中檔題．