Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+alnx，且f（x）在區(qū)間[1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值為

1

2

e2+1，求a的值．

Answer 1

分析：先求導函數(shù)，然后討論a的值，分別研究函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，建立等量關系即可求出a的值．

解答：解：f'（x）=x+

a

x

當a=0時，f'（x）＞0∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為

1

2

e2，不符合題意
當a＜0時，f'（x）=0，解得x=

-a

，當

-a

≤1時不合題意，當1＜

-a

＜e，時也不合題意，當

-a

＞e也不合題意．
當a＞0時，f'（x）＞0∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為

1

2

e2+a，
而f（x）在區(qū)間[1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值為

1

2

e2+1，
∴a=1即a的值為1．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．