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已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分別是AB、A1B1的中點，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，異面直線AB1和C1B互相垂直.

(1)求證：AB1⊥C1D1；

(2)求證：AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直線AC與平面A1CD所成的角.

(1)證明：∵A1C1=B1C1，?

∴C1D1⊥A1B1.?

又平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，?

∴C1D1⊥平面A1ABB1.?

∴C1D1⊥平面AB1.?

又AB1⊥C1B,∴AB1⊥平面BC1D1.?

∴AB1⊥C1D1.?

(2)證明：∵BD∥DA1,∴BD∥平面A1CD.?

∵C1D1∥CD,∴C1D1∥平面A1CD.?

∴平面BC1D1∥平面A1CD.?

又AB1⊥平面BC1D1，∴AB1⊥面A1CD.?

(3)解析：設AB1與A1D相交于H，則CH是CA在平面A1CD內的射影，?

∴∠ACH就是直線AC與平面A1CD所成的角.?

易證明A1H=AB1=1,?

∴sin∠ACH=.?

∴∠ACH=30°.?

∴直線AC與平面A1CD所成的角為30°.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側面BB1C1C是邊長為2的菱形，∠B1BC=60°，側面BB1C1C⊥底面ABC，∠ABC=90°，二面角A-B1B-C為30°．
（1）求證：AC⊥平面BB1C1C；
（2）求AB1與平面BB1C1C所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側面BB1C1C與底面ABC垂直，BB1=BC，∠B1BC=60°，AB=AC，M是B1C1的中點．
（Ⅰ）求證：AB1∥平面A1CM；
（Ⅱ）若AB1與平面BB1C1C所成的角為45°，求二面角B-AC-B1的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長AB=2，BC=3，BC⊥面ABC1，CC1與面ABC所成的角為60°則斜三棱柱ABC-A1B1C1體積的最小值是
9
3
9
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長均為2，側棱與底面所成角為
π3
，且側面ABB1A1垂直于底面．
（1）判斷B1C與C1A是否垂直，并證明你的結論；
（2）求四棱錐B-ACC1A1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，點D為AC的中點，A1D⊥平面ABC，A1B⊥ACl
（I）求證：AC1⊥AlC； 
（Ⅱ）求二面角A-A1B-C的余弦值．

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