Question

10．已知直線y=$\frac{1}{2}$x+m經(jīng)過(guò)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)P，c為雙曲線的半焦距，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OP|，2a，|OF|成等比數(shù)列，求此雙曲線的離心率和漸近線方程．

Answer 1

分析 先求出P的坐標(biāo)，再利用|OP|，2a，|OF|成等比數(shù)列，得到a，c的關(guān)系，即可求此雙曲線的離心率和漸近線方程．

解答 解：由y=$\frac{1}{2}$x+m，令x=0，可得y=m，
∵直線y=$\frac{1}{2}$x+m經(jīng)過(guò)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F，
∴0=-$\frac{c}{2}$+m，
∴m=$\frac{c}{2}$，
∴|OP|=$\frac{c}{2}$，
∵|OP|，2a，|OF|成等比數(shù)列，
∴4a²=$\frac{c}{2}•c$，
∴c²=8a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=2$\sqrt{2}$，b²=7a²，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{7}$，漸近線方程為y=±$\sqrt{7}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．