Question

過點(diǎn)C（12，16）作圓x²+y²=100的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（　�。�

• A、5
• B、

  15

  2

• C、10
• D、15

Answer 1

分析：根據(jù)題意，以C為圓心、CA長(zhǎng)為半徑作圓C，可得B點(diǎn)在圓C上，因此直線AB是圓O與圓C的公共弦所在直線．利用圓的切線性質(zhì)與勾股定理算出圓C的半徑，得到圓C的方程進(jìn)而求出直線AB的方程，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，可得點(diǎn)C到直線AB的距離．

解答：解：圓x²+y²=100的圓心為O（0，0），半徑r=10．
連結(jié)OA、OB、OC，可得|OC|=

122+162

=20，
∵AC切圓O與點(diǎn)A，
∴OA⊥AC，
|AC|=

|OC|2-|OA|2

=10

3

，
因此，以C為圓心、CA半徑的圓方程為（x-12）²+（y-16）²=300，
∵CA、CB為經(jīng)過點(diǎn)C的圓O的兩條切線，
∴|AC|=|BC|，可得點(diǎn)B也在圓C上，因此AB是圓O與圓C的公共弦，
將圓O與圓C的方程相減，得3x+4y-25=0，
可得點(diǎn)C到直線AB的距離d=

|3×12+4×16-25|

32+42

=15．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓O的經(jīng)過點(diǎn)C的兩條切線，求切點(diǎn)弦所在直線與點(diǎn)C的距離．著重考查了圓的切線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．