Question

對正整數n，設曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為a_n，則數列{

an

n+1

}的前n項和的公式是 ______．

Answer 1

y'=nx^n-1-（n+1）xⁿ，
曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線的斜率為k=n2^n-1-（n+1）2ⁿ
切點為（2，-2ⁿ），
所以切線方程為y+2ⁿ=k（x-2），
令x=0得a_n=（n+1）2ⁿ，
令b_n=

an

n+1

=2 n．
數列{

an

n+1

}的前n項和為2+2²+2³++2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．
故答案為：2ⁿ⁺¹-2．