Question

12．已知函數(shù)$f（x）=4cosxsin（{x+\frac{π}{6}}）-1$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$上函數(shù)值的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由調(diào)價利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性得出結(jié)論．
（Ⅱ）由 x∈區(qū)間$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的值域．

解答 解：（Ⅰ）由于函數(shù)$f（x）=4cosxsin（{x+\frac{π}{6}}）-1$=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-1
=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故函數(shù)的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）∵x∈區(qū)間$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
函數(shù)的值域為[-1 2]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．