Question

（2013•合肥二模）已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=x+

1

x

+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱(chēng)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）=x²•[f（x）-a]，且g（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先設(shè)f（x）的圖象上任一點(diǎn)P（x，y），再由點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)求出對(duì)稱(chēng)的坐標(biāo)，由題意把對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入h（x）的解析式，進(jìn)行整理即可；
（II）由（I）求出g（x）的解析式，再求出導(dǎo)數(shù)，將條件轉(zhuǎn)化為：3x²-2ax+1≥0在區(qū)間[1，2]上恒成立，再分離出常數(shù)a，利用函數(shù)y=3x+

1

x

在區(qū)間[1，2]上的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，再求出a的范圍．

解答：解：（I）設(shè)f（x）的圖象上任一點(diǎn)P（x，y），
則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱(chēng)P′（-x，2-y）在h（x）的圖象上，
∴2-y=-x-

1

x

+2，得y=x+

1

x

，即f（x）=x+

1

x

，
（II）由（I）得，g（x）=x²•[f（x）-a]=x²•[x+

1

x

-a]=x³-ax²+x，
則g′（x）=3x²-2ax+1，
∵g（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，
∴3x²-2ax+1≥0在區(qū)間[1，2]上恒成立，
即a≤

1

2

（3x+

1

x

）在區(qū)間[1，2]上恒成立，
∵y=3x+

1

x

在區(qū)間[1，2]上遞增，故此函數(shù)的最小值為y=4，
則a≤

1

2

×4=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軌跡法求函數(shù)解析式，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值問(wèn)題，以及恒成立問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想．