Question

已知函數(shù)f(x)=2x³+m³(m∈N^*)．

(1)若x₁、x₂∈(0，m)，求證：f(x₁)+f(x₂)≥2f()；

(2)若a_n=f(n)，n=1，2，…，m-1，其中m≥3，m∈N．求證：a₁+a_m-1≥a₂+a_m-2；

(3)對于任意的a、b、c∈[m]，問以f(a)、f(b)、f(c)的值為長的三條線段是否可構(gòu)成三角形?請說明理由．

Answer 1

解：(1)先證2①

即證：                             ②

只需證：(x₁+x₂)（）≥2（）³

∵x₁·x₂∈(0，m)，則x₁+x₂＞0

∴只需證：

即（x₁-x₂）²≥0

∴f(x₁)+f(x₂)≥2f()

(2)m=3時顯然成立，m＞3時，由（1）得：

a₁+a₃＞2a₂

a₂+a₄＞2a₃

a₃+a₅＞2a₄

a_m-3+a_m-1＞2a_m-2

各式相加得：a₁+a_m-1≥a₂+a_m-2

 (3)f′(x)=6x²

∴f′(x)在[]大于0恒成立

∴f(x)在[m]上為增函數(shù)

∴f(x)_min=f()=m³     f(x)_max=f()=m³

∴m³+m³=m³＞m³恒成立

∴2f(x)_min＞f(x)_max

∴以f（a）、f(b)、f(c)的值為長的三條線段能構(gòu)成三角形