Question

已知異面直線a、b所成的角為70°,則過(guò)空間任意一點(diǎn)M可作多少條不同的直線與a、b所成的角都是55°.

Answer 1

解:過(guò)M作a′∥a,b′∥b,分直線與a′、b′共面和異面兩種情況討論.

    (1)當(dāng)所作直線與a′、b′共面時(shí),只有平分110°角的直線l符合題意.

    (2)當(dāng)所作直線l與a′、b′不在同一平面內(nèi)時(shí)(如圖),在l上取一點(diǎn)P,作PO⊥α于O,由于PM與a′、b′所成的角相等(55°),因此,P在α上的射影O在70°角的平分線l₁上.

    ∵∠PMA=55°,∠AMO=35°,∠PMO=θ,

    則cos55°=cosθ·cos35°.

    ∴cosθ=＜1,θ存在且唯一.

    同理,相應(yīng)的與l關(guān)于l₁對(duì)稱的直線l′也適合.因此,滿足條件的直線有三條.