Question

在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,P為DD₁的中點,O為底面ABCD的中心,求證:B₁O⊥PA.

Answer 1

證法一:(以平面B₁BDD₁為基礎(chǔ)面)如圖,

∵AO⊥BD,B₁B⊥面ABCD,

∴AO⊥BB₁.

∴AO⊥面BB₁D₁D.

∴PO就是AP在平面BB₁D₁D上的射影.

設(shè)AB=a,連結(jié)PB₁,∵BD=B₁D₁=,

∴OB=OD=.∴OB₁²=

又OP²=,

PB₁²=,

∴OP²+OB₁²=PB₁²,即B₁O⊥OP,

故B₁O⊥PA.

證法二:(以平面A₁ADD₁為基礎(chǔ)面)如圖,

∵B₁A₁⊥平面A₁ADD₁,O點在平面A₁ADD₁上的射影恰為AD的中點M,

∴B₁O在面A₁ADD₁中的射影為A₁M.

又∵Rt△A₁AM≌Rt△ADP,∴A₁M⊥AP.

由三垂線定理,知B₁O⊥PA.

評析:(1)不同的選擇,使問題的解決過程有難有易,由此體現(xiàn)出靈活性并非輕而易舉獲得,需要加強訓(xùn)練.

(2)本題有趣的是在線段A₁B₁上任取一點Q,都有結(jié)論QO⊥AP.請讀者思考為什么.