Question

17．若不等式sin2θ-（2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$a）sin（θ+$\frac{π}{4}$）-$\frac{2\sqrt{2}}{cos（θ-\frac{π}{4}）}$＞-3-2a對θ∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，3）
• B． （-∞，2$\sqrt{2}$）
• C． （2$\sqrt{2}$，3）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 首先，根據(jù)x=sinθ+cosθ，得到x=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），然后，確定函數(shù)的定義域，再利用sin（x+$\frac{π}{4}$）=sin（x-$\frac{π}{4}$）代人化簡，得到函數(shù)y=h（x）的解析式．分離參數(shù)a然后，借助于基本不等式進行求解范圍問題．

解答 解：設(shè)，h（x）=sin2θ-（2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$a）sin（θ+$\frac{π}{4}$）-$\frac{2\sqrt{2}}{cos（θ-\frac{π}{4}）}$，
∵x=sinθ+cosθ，
∴x=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴θ+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴x∈[1，$\sqrt{2}$]，
函數(shù)的定義域為[1，$\sqrt{2}$]；
∵sin2θ=x²-1，x=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
sin（θ+$\frac{π}{4}$）=cos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴函數(shù)y=h（x）=x²-（a+2）x$-\frac{4}{x}$-1，
h（x）=x²-（a+2）x$-\frac{4}{x}$-1＞-3-2a，
即x²-（a+2）x$-\frac{4}{x}$-1＞-3-2a，
∴（2-x）a＞2x-x²+$\frac{4-2x}{x}$，
∵x∈[1，$\sqrt{2}$]，
∴2-x＞0，
∴a$＞x+\frac{2}{x}$，
令函數(shù)f（x）=x+$\frac{2}{x}$，
則函數(shù)f（x）在x∈[1，$\sqrt{2}$]，上單調(diào)遞減，
所以f（x）在x∈[1，$\sqrt{2}$]，上的最大值為f（1）=3．
即知a的取值范圍為（3，+∞）
故選：D

點評 本題綜合考查函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，分離參數(shù)法在求解問題中的靈活運用，屬于中檔題