Question

已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，

(1)求二面角B₁-AC-B的大小；

(2)求點(diǎn)B到平面AB₁C的距離.

Answer 1

解析:(1)連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)B₁O(如圖)，易知BB₁⊥底面ABCD且BO⊥AC，

∴B₁O⊥AC.

∴∠B₁OB是二面角B₁ACB的平面角.

在Rt△B₁BO中，B₁B=，OB=×2=.

∴tan∠B₁OB=1，且∠B₁OB為銳角.

∴∠B₁OB=45°，

即二面角B₁ACB為45°.

(2)作BM⊥B₁O于M，由AC⊥平面B₁OB，

∴BM⊥AC.∴BM⊥平面AB₁C，即BM為點(diǎn)B到平面AB₁C的距離.

在等腰Rt△B₁BO中，BB₁=，OB=，∴BM=1.

小結(jié)：在正棱柱中,側(cè)棱垂直于底面,底面是正多邊形,這是正棱柱的性質(zhì).本題由于底面ABCD是正方形,∴BO⊥AC.又B₁B⊥底面ABCD，∴∠B₁OB是二面角B₁ACB的平面角.求點(diǎn)B到平面AB₁C的距離,就是求Rt△B₁OB的斜邊B₁O上的高.