Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+2，g(x)=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0，
(1)若a=2，求曲線y=g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程；
(2)是否存在負(fù)數(shù)a，使f(x)≤g(x)對(duì)一切正數(shù)x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：(1)由題意可知，當(dāng)a=2時(shí)，，
則，
故曲線y=g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線斜率k=g'(1)=7，
又g(1)=6，
故曲線y=g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y-6=7(x-1)，即y=7x-1．
(2)設(shè)函數(shù)，
則，
假設(shè)存在負(fù)數(shù)a，使得f(x)≤g(x)對(duì)一切正數(shù)x都成立，
即當(dāng)x＞0時(shí)，h(x)的最大值小于等于零．
令h'(x)=0可得：(舍)，
當(dāng)時(shí)，h'(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，h'(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減，
即h(x)在處有極大值，也是最大值，
所以，解得，
所以負(fù)數(shù)a存在，它的取值范圍為。