Question

已知函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，當x≤0時，，
（1）判斷并證明y=f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性；
（2）求y=f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）首先把函數(shù)解析式變形，
再借用對數(shù)函數(shù)值域和基本不等式求出x≤0時f（x）的值域，
最后利用奇函數(shù)圖象關于原點對稱的性質(zhì)求出x≥0時的值域，進而問題解決．
解答：（1）答：函數(shù)y=f（x）在（-∝，0）上是增函數(shù)．
證明：f′（x）===
其中3^x＞0，ln3＞0，且x＜0時，0＜9^x＜1，
所以f′（x）＞0，
所以函數(shù)y=f（x）在（-∝，0）上是增函數(shù)．
（2）解：當x≤0時，=
因為，則∈[2，+∞），
所以f（x）在（-∞，0]上的值域是（-，0]，
又f（x）是R上的奇函數(shù)，
所以f（x）在[0，+∞）上的值域是[0，），
故y=f（x）在R上的值域是．
點評：本題主要考查導數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇函數(shù)的圖象特征，同時考查對數(shù)函數(shù)的值域及基本不等式．