Question

如圖,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ACB=90°,AC=BC=,AA₁=6,E、F分別為AA₁與BC₁的中點(diǎn).

(1)求證：EF∥底面ABC.

(2)求平面EBC₁與底面ABC所成的銳二面角的大小.

Answer 1

答案：方法一:(1)證明:取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)AD、DF.

∵F為BC₁的中點(diǎn),∴DF∥CC₁∥AE,DF=CC₁=AA₁=AE.∴四邊形EADF為平行四邊形.∴EF∥AD.又AD底面ABC,∴EF∥底面ABC.

(2)解：取CC₁的中點(diǎn)M,連結(jié)EM、FM,則EM∥AC,FM∥BC,∴平面EFM∥底面ABC.∴平面EBC₁與底面所成的銳二面角等于平面EBC₁與平面EFM所成的銳二面角.作MN⊥EF于N,連結(jié)C₁N,則EF⊥C₁N,∠C₁NM為平面EBC₁與平面EFM所成的銳二面角的平面角.

在Rt△EMF中,EM=,MF=,EF=15+,∴MN=.

又C₁M=3,∴在Rt△C₁MN中,tan∠C₁NM=.∴∠C₁NM=60°,即所求銳二面角的大小為60°.

方法二:(1)證明:以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(,0,0),B(0,,0),C(0,0,6),E(,0,3),F(0,,3),取BC中點(diǎn)D,則D(0,,0),

∴=(-,,0),=(-,,0).∴=.∴EF∥平面ABC.

(2)解：設(shè)平面EBC₁的法向量為n=(x,y,z),又BE=(,-,3),

由n⊥,得n·=0,即x-y+3z=0;①

由n⊥,得n·=0,即-x+y+0·z=0.②

由①②知可取n=(3,6,).

又平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1),

∴cos〈m,n〉=.

∴〈m,n〉=60°.

∴所求銳二面角的大小為60°.