Question

18．已知f（x）=ax²+2ax+1在[-2，3]上的最大值為6，則f（x）的最小值為-74或$\frac{2}{3}$．．

Answer 1

分析 根據函數解析式確定函數對稱軸和定點，數形結合確定最大值點，建立等量關系求解a的值，得到函數的表達式，從而求出f（x）的最小值即可．

解答 解：根據所給二次函數解析式可知，對稱軸為x=-1，且恒過定點（0，1），
（1）當a＜0時，函數在[-2，-1]上單調遞增，在[-1，3]上單調遞減，
所以函數在x=-1處取得最大值，因為f（-1）=-a+1=6，所以a=-5，
∴f（x）=-5x²-10x+1，
∴f（x）_最小值=f（3）=-74；
（2）當a＞0時，函數在[-2，-1]上單調遞減，在[-1，3]上單調遞增，
所以函數在x=3處取得最大值，
因為f（3）=15a+1=6，所以a=$\frac{1}{3}$，
∴f（x）_最小值=f（-1）=$\frac{2}{3}$
故答案為：-74或$\frac{2}{3}$．

點評 本題考察二次函數的性質，對于給出最值求參題目，一般要結合題中所給解析式大致確定函數圖象、分類討論來研究，屬于中檔題．