Question

15．設(shè)A、B分別是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點，點P在C上且異于A、B兩點，若直線AP與BP的斜率之積為-$\frac{1}{3}$，則C的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（x₀，y₀），由題意可得ab的關(guān)系式，結(jié)合橢圓系數(shù)的關(guān)系和離心率的定義可得．

解答 解：由題意可得A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（x₀，y₀），
則由P在橢圓上可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，∴y₀²=$\frac{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$•b²，①
∵直線AP與BP的斜率之積為-$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=-$\frac{1}{3}$，∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$，②
把①代入②化簡可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，涉及橢圓的離心率和直線的斜率公式，屬中檔題．