Question

19．已知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}-1，n為奇數(shù)}\\{{2}^{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-2-\frac{n}{2}，n為偶數(shù)}\\{{2}^{n+1}-3-\frac{n-1}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 討論n為偶數(shù)，n為奇數(shù)時，運用分組求和和等比數(shù)列的求和公式，綜合即可得到所求．

解答 解：當(dāng)n為偶數(shù)時，其前n項和S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n
=（2-1）+2²+（2³-1）+2⁴+…+（2^n-1-1）+2ⁿ=（2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（1+1+…+1）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-$\frac{n}{2}$=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n}{2}$；
當(dāng)n為奇數(shù)時，其前n項和S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n
=2ⁿ-2-$\frac{n-1}{2}$+2ⁿ-1=2ⁿ⁺¹-3-$\frac{n-1}{2}$．
其前n項和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-2-\frac{n}{2}，n為偶數(shù)}\\{{2}^{n+1}-3-\frac{n-1}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-2-\frac{n}{2}，n為偶數(shù)}\\{{2}^{n+1}-3-\frac{n-1}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，注意運用等比數(shù)列的求和公式，考查分類討論和運算能力，屬于中檔題．