Question

19．如圖，A、B、C為⊙O上三點，B為$\widehat{AC}$的中點，P為AC延長線上一點，PQ與⊙O相切于點Q，BQ與AC相交于點D．
（Ⅰ）證明：△DPQ為等腰三角形；
（Ⅱ）若PC=1，AD=PD，求BD•QD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接CQ，BC，AB，證明∠PQD=∠CDQ，即可證明PD=PQ；
（Ⅱ）利用切割線定理，求出CD=1，AD=PD=2，即可求BD•QD．

解答 （Ⅰ）證明：連接CQ，BC，AB，
因為PQ是圓O的切線，所以∠PQC=∠CBD，
因為B為$\widehat{AC}$的中點，所以∠CQB=∠ACB，
所以∠PQC+∠CQB=∠CBD+∠ACB，
即∠PQD=∠CDQ，
故△DPQ為等腰三角形．…（5分）
（Ⅱ）解：設CD=t，則PD=PQ=1+t，PA=2+2t，
由PQ²=PC•PA得t=1，
所以CD=1，AD=PD=2，
所以BD•QD=CD•AD=2．…（10分）

點評 本題考查與圓有關的比例線段，考查相等線段的證明，考查切割線定理，難度中等．