Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓的左焦點(diǎn)為，橢圓上任意點(diǎn)到的最遠(yuǎn)距離是，過直線與軸的交點(diǎn)任作一條斜率不為零的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為.

(1)求橢圓的方程；

(2)求證：、、三點(diǎn)共線；

(3)求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組，求得a,b的值即可確定橢圓方程；

(Ⅱ)設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理證明即可證得題中的結(jié)論.

(Ⅲ)由題意可得的面積，結(jié)合均值不等式的結(jié)論確定面積的最大值即可.

(Ⅰ)由題意可得：，解得：，

故橢圓的離心率為：.

(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的橢圓方程可得：，故，

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立直線方程與橢圓方程：可得：

.

直線與橢圓相交，則：，

解得：或.

設(shè)，，

則：,

故：

將代入上式可得：，

故三點(diǎn)共線；

(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)論可得：

的面積

.

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的面積的最大值為.