Question

7．已知在△ABC所在平面內(nèi)有兩點(diǎn)P、Q，滿足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=0，$\overrightarrow{QA}$+$\overrightarrow{QB}$+$\overrightarrow{QC}$=$\overrightarrow{BC}$，若|$\overrightarrow{AB}$|=4，|$\overrightarrow{AC}$|=2，S_△APQ=$\frac{2}{3}$，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值為±4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得P為AC的中點(diǎn)，Q為靠近B的線段AB的三等分點(diǎn)，根據(jù)S_△APQ=$\frac{2}{3}$，求得sin∠A 的值，可得cos∠A的值，從而求得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：已知在△ABC所在平面內(nèi)有點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$=0，∴P為AC的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)Q滿足$\overrightarrow{QA}$+$\overrightarrow{QB}$+$\overrightarrow{QC}$=$\overrightarrow{BC}$，即$\overrightarrow{QA}$+$\overrightarrow{QB}$+$\overrightarrow{QC}$=$\overrightarrow{QC}$-$\overrightarrow{QB}$，即$\overrightarrow{QA}$=-2$\overrightarrow{QB}$，
∴Q為靠近B的線段AB的三等分點(diǎn)，如圖所示：
若|$\overrightarrow{AB}$|=4，|$\overrightarrow{AC}$|=2，則|$\overrightarrow{AP}$|=1，|$\overrightarrow{AQ}$|=$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{8}{3}$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$•|$\overrightarrow{AP}$|•|$\overrightarrow{AQ}$|•cos∠A=$\frac{1}{2}$•1•$\frac{8}{3}$•sin∠A=$\frac{2}{3}$，
∴sin∠A=$\frac{1}{2}$，∴cos∠A=±$\sqrt{{1-sin}^{2}∠A}$=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos∠A=±4$\sqrt{3}$，
故答案為：±4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量減法及數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，三角形的面積公式，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，屬于中檔題．