Question

15．若函數(shù)f（x）=（x²+bx+c）e^x在（-∞，x₁）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x₁）=x₁，則關(guān)于x的方程[f（x）]²+（b+2）f（x）+b+c=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=（x²+（b+2）x+b+c）e^x，從而可得方程x²+（b+2）x+b+c=0的兩根為x₁，x₂；從而化方程為f（x）=x₁或f（x）=x₂，再結(jié)合f（x₁）=x₁及函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得共有3個(gè)不同的根．

解答 解：∵f（x）=（x²+bx+c）e^x，
∴f′（x）=（x²+（b+2）x+b+c）e^x，
又∵函數(shù)f（x）=（x²+bx+c）e^x在（-∞，x₁）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，
∴方程x²+（b+2）x+b+c=0的兩根為x₁，x₂；
∴方程[f（x）]²+（b+2）f（x）+b+c=0可化為f（x）=x₁或f（x）=x₂；
又∵f（x₁）=x₁，
∴f（x）=x₁有兩個(gè)不同的解，f（x）=x₂有1個(gè)解；
且三個(gè)解不相同；
故共有3個(gè)解；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及方程的根的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．