Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a1=

1

2

，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…
（1）證明：數(shù)列{

n+1

n

Sn}是等差數(shù)列，并求S_n；
（2）設(shè)bn=

Sn

n3+3n2

，求證：b1+b2+…+bn＜

5

12

．

Answer 1

分析：（1）由Sn=n2an-n(n-1)知，當(dāng)n≥2時(shí)：Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，由此能夠證明{

n+1

n

Sn}是等差數(shù)列．并能求出S_n．
（2）由bn=

Sn

n3+3n

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)，利用裂項(xiàng)求和法能夠證明b1+b2+…+bn＜

5

12

．

解答：（1）證明：由Sn=n2an-n(n-1)知，
當(dāng)n≥2時(shí)：Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，…（1分）
即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1)，
∴

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1，對n≥2成立．                        …（3分）
又

1+1

1

S₁=1，∴{

n+1

n

Sn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．

n+1

n

Sn=1+(n-1)•1…（5分）
∴Sn=

n2

n+1

…（6分）
（2）證明：bn=

Sn

n3+3n

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)…（8分）
∴b1+b2+…+bn=

1

2

(

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

+

1

n+1

-

1

n+3

)
=

1

2

(

5

6

-

1

n+2

-

1

n+3

)＜

5

12

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明和數(shù)列前n項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列、不等式知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．