Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別是 F₁，F(xiàn)₂，斜率為k的直線l過左焦點F₁且與橢圓的交點分別為A、B，與y軸交點為C，又B為線段CF₁的中點，若|k|≤

14

2

，求橢圓離心率e的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出B點坐標，代入橢圓方程得到：

c2

4a2

+

k2c2

4b2

=1，結(jié)合a²=b²+c²，e=

c

a

得到方程

4

e2

+e²-5≤

7

2

，解出即可．

解答： 解：過F₁（-c，0），設(shè)y=k（x+c）（k≠0），將x=0代入，y=kc，所以C（0，kc），
B是F₁C中點，B（-

c

2

，

kc

2

），B在橢圓上，將B代入橢圓方程，
得：

c2

4a2

+

k2c2

4b2

=1，
∴b²c²+k² a² c²=4a² b²，
∴（a²-c²）c²+k² a² c²=4a² （a²-c²），
∴k² a² c²=4a⁴+c⁴-5a² c²，
∴k²=

4a4+c4-5a2c2

a2c2

，且e=

c

a

，
∴k²=

4

e2

+e²-5，又∵k²≤

7

2

，
∴

4

e2

+e²-5≤

7

2

，解得：

2

2

≤e＜1，
故答案為：[

2

2

，1）．

點評：本題考查了橢圓的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了方程問題，是一道中檔題．