Question

求拋物線y²=64x上的點(diǎn)到直線4x+3y+46=0的距離的最小值,并求取得最小值時(shí)的拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

解法一:設(shè)P(x₀,y₀)是拋物線上的點(diǎn),則y₀²=64x₀,

∴d==|4·+3y₀+46|=［(y₀+24)²+160］.

∴當(dāng)y₀=-24,x₀=9時(shí),d有最小值2.

此時(shí)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)為(9,-24).

解法二:由無(wú)實(shí)根,知直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn).

設(shè)與直線4x+3y+46=0平行的直線為y=－x+b,代入y²=64x得y²+48y－48b=0.①

設(shè)此直線與拋物線相切,即只有一個(gè)公共點(diǎn).

∴Δ=48²－4(－48b)=0.解得b=－12.代入①,

得y=－24,x=9,即點(diǎn)P(9,－24)到直線4x+3y+46=0的距離最近,最近距離d==2.