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已知x，y，z∈R+，求證：
（1）（x+y+z）3≥27xyz；  
（2）(
x
y
+
y
z
+
z
x
)(
y
x
+
z
y
+
x
z
)≥9；  
（3）（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．
證明：（1）∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3
3xyz
，當且僅當x=y=z時，取等號，∴（x+y+z）3≥27xyz；  
（2）∵x，y，z∈R+，∴
x
y
+
y
z
+
z
x
≥3
3
x
y
?
y
z
?
z
x
=3，
y
x
+
z
y
+
x
z
≥3
3
y
x
?
z
y
?
x
z
=3，當且僅當x=y=z時，取等號，
∴兩式相乘，可得(
x
y
+
y
z
+
z
x
)(
y
x
+
z
y
+
x
z
)≥9；
（3））∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3
3xyz
，x2+y2+z2≥3
3x2y2z2
，當且僅當x=y=z時，取等號，
∴兩式相乘可得（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

11、已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，則x+2y+2z的最大值為
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x，y，z∈R，有下列不等式：
（1）x2+y2+z2+3≥2（x+y+z）；（2）
x+y
2
≥
xy
；（3）|x+y|≤|x-2|+|y+2|；（4）x2+y2+z2≥xy+yz+zx．
其中一定成立的不等式的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

[選做題]在下面A，B，C，D四個小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使CD=AC，連接AD交⊙O于點E，連接BE與AC交于點F，判斷BE是否平分∠ABC，并說明理由．
B．選修4-2：短陣與變換
已知矩陣M=
1
2
0
02
，矩陣M對應的變換把曲線y=sinx變?yōu)榍�C，求C的方程．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知曲線C的極坐標方程是ρ=4sin(θ+
π
4
)，求曲線C的普通方程．
D．選修4-5：不等式選講
已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x2+y2+z2的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•東城區(qū)一模）已知x，y，z∈R，若-1，x，y，z，-3成等差數(shù)列，則x+y+z的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=
1
2
，證明：x，y，z∈[0，
2
3
]．

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