Question

20．在△ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C的對邊．若a=1，c=$\sqrt{2}$，cosC=$\frac{3}{4}$．
（1）求sinA的值；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由條件利用同角三角函數的基本關系求得sinC的值，再利用正弦定理求得sinA的值．
（2）由條件利用余弦定理求得b的值，可得△ABC的面積${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC$ 的值．

解答 解：（1）∵$cosC=\frac{3}{4}$，0＜C＜π，∴$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$．
根據正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即 $sinA=\frac{asinC}{c}=\frac{{\sqrt{7}}}{{4\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{14}}}{8}$．
（2）根據余弦定理 c²=a²+b²-2abcosC，即 $2=1+{b^2}-\frac{3}{2}b$，即 2b²-3b-2=0．
∵b＞0，∴b=2，∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系，正弦定理、余弦定理的應用，屬于基礎題．