Question

已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（2，0）．
（1）求拋物線(xiàn)C的方程；
（2）過(guò)N（-1，0）的直線(xiàn)l交曲C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，又AB的中垂線(xiàn)交y軸于點(diǎn)D（0，t），求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=2px，則，由此能求出拋物線(xiàn)的方程．
（2）直線(xiàn)l的方程是y=k（x+1），聯(lián)立，消去x得ky²-8y+8k=0，再由根的判別別式和韋達(dá)定理能夠推導(dǎo)出t的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)方程為y²=2px，則，∴p=4，
所以，拋物線(xiàn)的方程是y²=8x．（4分）
（2）由題設(shè)知，直線(xiàn)l的斜率存在，故設(shè)直線(xiàn)l的方程是y=k（x+1），聯(lián)立，消去x得ky²-8y+8k=0，（6分）
顯然k≠0，由△=64-32k²＞0，得0＜|k|＜．（8分）
由韋達(dá)定理得，y₁+y₂=，y₁y₂=8，
所以，則AB中點(diǎn)E坐標(biāo)是（），（10分）
由k_DE-k=-1可得k³t-3k²-4=0，
所以，t=，令，則t=4x³+3x，其中|x|，（12分）
因?yàn)閠′=12x²+3＞0，所以函數(shù)t=4x³+3x是在（-），（）上增函數(shù)．
所以，t的取值范圍是（-）∪．（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋手線(xiàn)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意根的判別式和韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．