Question

求下列函數(shù)的值域：

(1)y＝；

(2)y＝；

(3)y＝x－；

(4)y＝x＋＋1，(x≠0)．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　(1)、(2)和(4)可采用方程的思想方法求出值域，即把函數(shù)看成是關(guān)于x的方程，利用方程有解的充要條件求出y的范圍；(3)可采用換元法或利用函數(shù)單調(diào)性求出值域；(4)還可采用基本不等式或利用函數(shù)的單調(diào)性求出值域． 　　解答　　(1)由y＝，得x＝log3． 　　∵＞0，∴0＜y＜1． 　　(2)∵y＝＝－1＋． 　　又∵－1≤sinx≤1，得≤≤4． 　　∴≤y≤3． 　　(3)解法一：(換元法)，設(shè)＝t(t≥0)， 　　得x＝， 　　∴y＝－t＝－(t＋1)2＋1≤，t≥0， 　　∴y∈(－∞，]． 　　解法二：(利用函數(shù)的單調(diào)性)，∵1－2x≥0，∴x≤． 　　∴定義域為(－∞，]， 　　∵函數(shù)y＝x，y＝－均在(－∞，]上單調(diào)遞增，∴y≤－＝， 　　∴y∈(－∞，]． 　　(4)解法一；(基本不等式法)． 　　由y＝x＋＋1，(x≠0)，得y－1＝x＋． 　　∵|x＋|＝|x|＋||≥2＝2． 　　∴|y－1|≥2，即y≤－1或y≥3． 　　解法二：(判別式法)． 　　由y＝x＋＋1，得x2＋(1－y)x＋1＝0． 　　∵方程有實根，∴△＝(1－y)2－4≥0． 　　即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2或y－1≥2． 　　得：y≤－1或y≥3． 　　評析　　第(1)題是通過求原函數(shù)的反函數(shù)的定義域，求原函數(shù)的值域．也可將原函數(shù)式化為3x＝，可利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)3x＞0得＞0．第(2)題采用了“部分分式法”求解，即將原分式分解成兩項，其中一項為常數(shù)，另一項容易求出值域．形如y＝(a≠0，c≠0)的函數(shù)均可使用這種方法．本題也可化為sinx＝，利用|sinx|≤1，得||≤1，求函數(shù)的值域．第(3)題用換元法求函數(shù)的值域，要特別注意換元后新變量的取值范圍．第(4)題利用基本不等式求函數(shù)的值域時，必須注意公式使用的條件，本題也可分x＞0，x＜0兩類情況利用基本不等式求函數(shù)的值域；利用判別式法術(shù)函數(shù)值域的關(guān)鍵是構(gòu)造自變量x的二次方程．