Question

14．已知|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=4，k為何值時(shí)，向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$平行．

Answer 1

分析 根據(jù)零向量和任何向量平行，及共線向量基本定理便可分成這樣幾種情況求k的值：$①\overrightarrow{a}+k\overrightarrow=\overrightarrow{0}$，$②\overrightarrow{a}-k\overrightarrow=\overrightarrow{0}$，③$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$和$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow$都不為零向量，對(duì)于前兩種情況容易求出k=$±\frac{3}{4}$，而第3種情況可根據(jù)共線向量和平面向量基本定理求出k的值，這樣便可得出使向量$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow$平行的k的值．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow=\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{a}=-k\overrightarrow$；
∴$|\overrightarrow{a}|=|-k\overrightarrow|=|k||\overrightarrow|$；
∴3=4|k|；
∴$k=±\frac{3}{4}$；
此時(shí)$\overrightarrow{0}$和$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow$平行；
②同理，$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow=\overrightarrow{0}$時(shí)，可得k=$±\frac{3}{4}$；
此時(shí)$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$和$\overrightarrow{0}$平行；
③當(dāng)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$不共線時(shí)，$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow$都不是零向量；
這兩向量平行，則：存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow=λ（\overrightarrow{a}-k\overrightarrow）$；
∴$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow=λ\overrightarrow{a}-λk\overrightarrow$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{-λk=k}\end{array}\right.$；
∴k=0；
綜上得k=0，或$±\frac{3}{4}$時(shí)，向量$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$和$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow$平行．

點(diǎn)評(píng) 考查零向量和任何向量平行，共面向量及平面向量基本定理，不要漏了討論$\overrightarrow{a}+k\overrightarrow$和$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow$為零向量的情況．