Question

已知橢圓：與拋物線：有相同焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知直線過橢圓的另一焦點(diǎn)，且與拋物線相切于第一象限的點(diǎn)，設(shè)平行的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)△面積最大時，求直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由于拋物線的焦點(diǎn)為，得到，又得到．

（Ⅱ）思路一：設(shè)，，

     

直線的方程為即且過點(diǎn)

，

切線方程為

由，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組

由，消整理得

設(shè)，，應(yīng)用韋達(dá)定理

得，由點(diǎn)到直線的距離為,應(yīng)用基本不等式等號成立的條件求得

思路二：，由已知可知直線的斜率必存在，設(shè)直線

由消去并化簡得

根據(jù)直線與拋物線相切于點(diǎn)．得到，．

根據(jù)切點(diǎn)在第一象限得；由∥，設(shè)直線的方程為

由，消去整理得， 思路同上．

試題解析：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)為，

，又

橢圓方程為．                      4分

（Ⅱ）（法一）設(shè)，，

     

直線的方程為即且過點(diǎn)

，

切線方程為                                    6分

因?yàn)?sub>，所以設(shè)直線的方程為，

由，消整理得          7分

，解得     ①

設(shè)，，則

∴

                 8分

直線的方程為，

點(diǎn)到直線的距離為                       9分

，                  10分

由①，    

（當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號）

最大

所以，所求直線的方程為：．               12分

（法二），由已知可知直線的斜率必存在，

設(shè)直線

由    消去并化簡得

∵直線與拋物線相切于點(diǎn)．

∴，得．                      5分

∵切點(diǎn)在第一象限．

∴                                                 6分

∵∥

∴設(shè)直線的方程為

由，消去整理得，           7分

，解得．

設(shè)，，則

，

．  8分

又直線交軸于

 10分

當(dāng)，即時，．        11分

所以，所求直線的方程為．                    12分

考點(diǎn)：1．橢圓、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；2．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．