Question

8．求f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$的最小值．

Answer 1

分析 令t=$\sqrt{1+{x}^{2}}$（t≥1），則x²=t²-1，則y=$\frac{{t}^{2}-1+a}{t}$=t+$\frac{a-1}{t}$，討論當(dāng)a-1≤0，當(dāng)a-1≥1即a≥2，當(dāng)a-1＜1即a＜2時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性和基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
令t=$\sqrt{1+{x}^{2}}$（t≥1），則x²=t²-1，
則y=$\frac{{t}^{2}-1+a}{t}$=t+$\frac{a-1}{t}$，
當(dāng)a-1≤0，即a≤1時(shí)，函數(shù)y=t+$\frac{a-1}{t}$在[1，+∞）遞增，
即有x=0時(shí)，取得最小值a；
當(dāng)a-1＞0即a＞1時(shí)，若a-1≥1即a≥2，
由t+$\frac{a-1}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{a-1}{t}}$=2$\sqrt{a-1}$，
函數(shù)y在[1，$\sqrt{a-1}$）遞減，在（$\sqrt{a-1}$，+∞）遞增，
即有t=$\sqrt{a-1}$處取得最小值2$\sqrt{a-1}$；
若0＜a-1＜1即1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y在[1，+∞）遞增，
即有t=1即x=0處取得最小值a．
綜上可得，當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）的最小值為a；
當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）的最小值為2$\sqrt{a-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．