Question

（2012•貴州模擬）數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=2，S_n+1=3S_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求{S_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+1=3S_n+2，利用迭代法得a_n+1=3a_n，故{a_n}是以3為公比，2為首項的等比數(shù)列，由此能夠求出a_n．
（Ⅱ）由an=2×3n-1，得Sn=

2(3n-1)

3-1

=3ⁿ-1，由此能求出{S_n}的前n項和為T_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n+1=3S_n+2
當n＞1得S_n=3S_n-1+2
上兩式相減得a_n+1=3a_n…（3分）
∵a₁=2，
∴{a_n}是以3為公比，2為首項的等比數(shù)列，
∴an=2×3n-1，當n=1時，上式也成立，
∴an=2×3n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，an=2×3n-1，
故Sn=

2(3n-1)

3-1

=3ⁿ-1，
故T_n=S₁+S₂+…+S_n
=

3(3n-1)

3-1

-n
=

3n+1

2

-n-

3

2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意迭代法、分組求和法的合理運用．