Question

7．已知A、B、C是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的三點(diǎn)，其中A的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，0），BC過橢圓E的中心，且橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）當(dāng)直線BC的斜率為1時(shí)，求△ABC面積；
（3）設(shè)直線l：y=kx+2與橢圓E交于兩點(diǎn)P、Q，且線段PQ的中垂線過橢圓E與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)D，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2$\sqrt{3}$，再由正三角形的條件可得a=$\sqrt{3}$b，解得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由題意寫出A點(diǎn)坐標(biāo)，直線CB方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可求得交點(diǎn)C、B的縱坐標(biāo)，S_△ABC=$\frac{1}{2}$|OA|•|y_B-y_C|，代入數(shù)值即可求得面積；
（3）聯(lián)立直線l與橢圓方程消掉y得x的二次方程，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)H（x₀，y₀），由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用k表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直可得k_DH•k_PQ=-1，解出即得k值，注意檢驗(yàn)△＞0．

解答 解：（1）A的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，0），即有a=2$\sqrt{3}$，
橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，
可得a=$\sqrt{3}$b，解得b=2，
則橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）直線BC的方程為y=x，
代入橢圓方程x²+3y²=12，得y=x=±$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|OA|•|y_B-y_C|=$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$=6；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3k²+1）x²+12kx=0，△=（12k）²≥0，
依題意，k≠0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)H（x₀，y₀），
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=kx₀+2=$\frac{2}{1+3{k}^{2}}$，D（0，-2），H（-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{2}{1+3{k}^{2}}$），
由k_DH•k_PQ=-1，得$\frac{\frac{2}{1+3{k}^{2}}+2}{-\frac{6k}{1+3{k}^{2}}}$=-$\frac{1}{k}$，解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
所以實(shí)數(shù)k的值為k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、三角形面積公式，韋達(dá)定理、判別式是解決該類題目的常用知識(shí)，要熟練掌握．