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已知拋物線y2＝2px(q＞0)，過動點M(a，0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，｜AB｜≤2p．

(1)

求a的取值范圍

(2)

若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求Rt△NAB的面積的最大值．

答案：
解析：

(1)

　　解：直線l的方程為y＝x－a，代入y2＝2px，得x2－2(a＋p)x＋a2＝0．

　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　則

　　又y1＝x1－a，y2＝x2－a，

　　∴｜AB｜＝

　　　　　�。�

　　∵0＜｜AB｜≤2p，∴0＜8p(p＋2a)≤4p2，

　　∴－＜a≤－．

　　分析：研究直線和圓錐曲線的關(guān)系，通常利用韋達定理得出兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系，而不是個別求解．需要注意首先要判別方程的根的情況．

　　點評：直線被圓錐曲線截得的線段長可用弦長公式·表示，其中k為直線的斜率，△為關(guān)于x的方程的根的判別式，a為關(guān)于x的二次方程的二次項的系數(shù)；

(2)

　　設AB的垂直平分線交AB于點Q，令其坐標為(x3，y3)，則

　　x3＝＝a＋p，y3＝＝p．

　　∴｜QM｜2＝(a＋p－a)2＋(p－0)2＝2p2．

　　又△MNQ為等腰直角三角形，

　　∴｜QN｜＝｜QM｜＝p，

　　∴S△NAB＝｜AB｜·｜QN｜＝p·｜AB｜≤p2，其中當且僅當｜AB｜＝2p時等號成立，

　　即△NAB的面積最大值為p2．

　　點評：求最值時，一般情況下應說明等號成立的條件．


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源：成功之路·突破重點線·數(shù)學（學生用書） 題型：022

在直角坐標系xoy中，已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過點(2p，0)作直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，給出下列結(jié)論：(1)OA⊥OB(2)△AOB的最小面積是4p2(3)x1x2＝－4p2其中正確的結(jié)論是________．

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已知拋物線y2＝2px（p＞0）.過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p.

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源：中學教材標準學案　數(shù)學　高二上冊 題型：044

已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過動點M(a，0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，①若|AB|≤2p，求a的取值范圍；②若線段AB的垂直平分線交AB于點Q，交x軸于點N，求直角三角形MNQ的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：新課程高中數(shù)學疑難全解 題型：044

如圖所示，已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過動點M(a，0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p．

(1)求a的取值范圍；

(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：重慶八中2009屆高三下學期第二次月考數(shù)學理科試題 題型：044

已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為l．

(Ⅰ)求拋物線上任意一點Q到定點N(2p，0)的最近距離；

(Ⅱ)過點F作一直線與拋物線相交于A、B兩點，并在準線l上任取一點M，當M不在x軸上時，證明：是一個定值，并求出這個值．

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