Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在區(qū)間上的最大值；

（2）若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求，令，求出極值點(diǎn)，極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即求最大值；

（2）設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，得.設(shè)，則“過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“有3個(gè)不同的零點(diǎn)”.求，判斷的單調(diào)性，即可求解.

（1）由得.

令，得或.

因?yàn)?/span>，

所以在區(qū)間上的最大值為.

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，

則，且切線斜率為，

所以切線方程為，

因此，

整理得.

設(shè)，

則“過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“有3個(gè)不同的零點(diǎn)”.

.

當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下：

		0		1
	+	0	-	0	+

所以，是的極大值，

是的極小值.

當(dāng)，即時(shí)，

在區(qū)間和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，

以至多有2個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)，即時(shí)，

在區(qū)間和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，

所以至多有2個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)且，即時(shí)，

因?yàn)?/span>，

所以分別在區(qū)間和上恰有1個(gè)零點(diǎn).

由于在區(qū)間和上單調(diào)，

所以分別在區(qū)間和上恰有1個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，當(dāng)過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切時(shí)，的取值范圍是.