Question

11．已知橢圓C₁的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且焦距為6，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若雙曲線C₂與橢圓C₁有相同的焦點(diǎn)，且實(shí)軸長是虛軸長的一半，求雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出a，b，即可求出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求出雙曲線的實(shí)軸與虛軸，然后求解雙曲線方程以及漸近線方程即可．

解答 解：（1）橢圓C₁的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且焦距為6，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
可得a=5，c=3，則b=4，所求橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{16}=1$．焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，±3）；
（2）雙曲線C₂與橢圓C₁有相同的焦點(diǎn)，可得雙曲線的焦距為：8，焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，±4），
雙曲線的實(shí)軸長是虛軸長的一半，可得b=2a，a²+b²=16，解得a²=$\frac{16}{5}$，b²=$\frac{32}{5}$，
所求的雙曲線方程為：$\frac{{y}^{2}}{\frac{16}{5}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{32}{5}}=1$，
雙曲線的漸近線方程為：y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}x$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓方程以及雙曲線方程的求法，考查計(jì)算能力．