Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2ⁿa_n-1，則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n=2n+$\frac{1}{{2}^{n}}$-1．

Answer 1

分析 通過S_n=2ⁿa_n-1與S_n-1=2^n-1a_n-1-1（n≥2）作差、整理可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，進而利用分組法求和計算即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n=2ⁿa_n-1，
∴S_n-1=2^n-1a_n-1-1（n≥2），
兩式相減得：a_n=2ⁿa_n-2^n-1a_n-1（n≥2），
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=2n-$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=2n+$\frac{1}{{2}^{n}}$-1，
故答案為：2n+$\frac{1}{{2}^{n}}$-1．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查分組法求和，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．