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已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=，且an+bn=1，bn+1=(n∈N*)．

(Ⅰ)求{an}與{bn}的通項公式；

(Ⅱ)設(shè)Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1.若對任意的n∈N*，不等式kSn＞bn恒成立，求正整數(shù)k的最小值．

解：(Ⅰ)由an+bn=1(n∈N*)知

bn=1-an,bn+1=1-an+1

∴1-an+1=

an-an+1=an·an+1    

∴數(shù)列{}是以=4為首項、以1為公差的等差數(shù)列.

∴=4+n-1=n+3    ∴an=

bn=1-an=1-

(Ⅱ)Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1

=

= 

∵對任意的n∈N*，不等式kSn＞bn恒成立

∴即恒成立 

令f(n)=則

f(1)=   f(2)=

又當n≥3時，n2＞8  從而n2+3n＞3n+8

即  ∴f(n)＜2

可見對任意n∈N*，f(n)的最大值為.

故

∴k的最小值為16.

 


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a=1，a1=2，a2＞0，bn=
a1an+1
(n∈N*)．且{bn}是以
a為公比的等比數(shù)列．
（Ⅰ）證明：aa+2=a1a2；
（Ⅱ）若a3n-1+2a2，證明數(shù)例{cx}是等比數(shù)例；
（Ⅲ）求和：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+
1
a4
+…+
1
a2n-1
+
1
a2n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-
2n
3
+
4
9
．
（1）當m=1時，求證：對于任意的實數(shù)λ，{an}一定不是等差數(shù)列；
（2）當λ=-
1
2
時，試判斷{bn}是否為等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足：a1=b1=4，a2=b2=2，a3=1，且數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列，n∈N*，
（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）問是否存在k∈N*，使得ak-bk∈(
12
，3]？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=
23
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21）其中λ為實數(shù)，且λ≠-18，n為正整數(shù)．
（Ⅰ）求證：{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)0＜a＜b，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•孝感模擬）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1且bn=1-2an，bn+1=
bn
1-4 
a
2
n
．
（I）證明：數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
1
b2b3…bnbn+1 
對任意正整數(shù)n都成立的最大實數(shù)k．

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