Question

6．某商場欲經(jīng)銷某種商品，考慮到不同顧客的喜好，決定同時銷售A、B兩個品牌，根據(jù)生產(chǎn)廠家營銷策略，結(jié)合本地區(qū)以往經(jīng)銷該商品的大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，A品牌的銷售利潤y₁與投入資金x成正比，其關(guān)系如圖1所示，B品牌的銷售利潤y₂與投入資金x的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2所示（利潤與資金的單位：萬元）．
（1）分別將A、B兩個品牌的銷售利潤y₁、y₂表示為投入資金x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該商場計劃投入5萬元經(jīng)銷該種商品，并全部投入A、B兩個品牌，問：怎樣分配這5萬元資金，才能使經(jīng)銷該種商品獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元？

Answer 1

分析 （1）設(shè)y₁=k₁x（x＞0），y₂=k₂$\sqrt{x}$（x＞0），分別代入點（2，0.5）和（4，1.5），解方程即可得到所求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)總利潤為y，投入B品牌為x萬元，則投入A品牌為（5-x）萬元，則$y=\frac{1}{4}（5-x）+\frac{3}{4}\sqrt{x}（0＜x＜5）$，令$t=\sqrt{x}（0＜t＜\sqrt{5}）$，運用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，可得y的最大值．

解答 解：（1）因為A品牌的銷售利潤y₁與投入資金x成正比，
設(shè)y₁=k₁x（x＞0），
又過點（2，0.5），解得${k_1}=\frac{1}{4}$，
所以${y_1}=\frac{1}{4}x（x＞0）$；
B品牌的銷售利潤y₂與投入資金x的算術(shù)平方根成正比，
設(shè)y₂=k₂$\sqrt{x}$（x＞0），又過點（4，1.5），即有1.5=2k₂，
解得k₂=$\frac{3}{4}$，
所以y₂=$\frac{3}{4}$$\sqrt{x}$（x＞0）；
（2）設(shè)總利潤為y，投入B品牌為x萬元，則投入A品牌為（5-x）萬元，
則$y=\frac{1}{4}（5-x）+\frac{3}{4}\sqrt{x}（0＜x＜5）$，
令$t=\sqrt{x}（0＜t＜\sqrt{5}）$，
則$y=\frac{1}{4}（-{t^2}+3t+5）$=$-\frac{1}{4}{（t-\frac{3}{2}）^2}+\frac{29}{16}$，
當$t=\frac{3}{2}$時，即$x=\frac{9}{4}$時，投入A品牌為：$5-\frac{9}{4}=\frac{11}{4}$，${y_{max}}=\frac{29}{16}$．
答：投入A品牌$\frac{11}{4}$萬元、B品牌$\frac{9}{4}$萬元時，經(jīng)銷該種商品獲得最大利潤，最大利潤為$\frac{29}{16}$萬元．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)的最值，主要考查二次函數(shù)的最值求法和換元法思想，屬于中檔題．