Question

6．實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，則z的最大值是$\frac{13}{3}$．

Answer 1

分析 得到x、y是關(guān)于t的一元二次方程t²-（5-z）t+z²-5z+3=0的兩實(shí)根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出z的最大值即可．

解答 解：∵x+y=5-z，xy=3-z（x+y）=3-z（5-z）=z²-5z+3，
∴x、y是關(guān)于t的一元二次方程t²-（5-z）t+z²-5z+3=0的兩實(shí)根．
∵△=（5-z）²-4（z²-5z+3）≥0，
即3z²-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0．
∴-1≤z≤$\frac{13}{3}$，當(dāng)x=y=$\frac{1}{3}$時(shí)，z=$\frac{13}{3}$；
故z的最大值為$\frac{13}{3}$；
故答案為：$\frac{13}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)最值問題，是一道中檔題．