Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，2a_n+1=a_na_n+1+1
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）已知數(shù)列{b_n}滿足：a_nb_n=1-a_n，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，證明：S₁+S₂+…+S_n-1=n（S_n-1）

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，2a_n+1=a_na_n+1+1，分別代入，即可求得a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（Ⅲ）已知數(shù)列{b_n}滿足：a_nb_n=1-a_n，可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，從而可求前n項(xiàng)和，進(jìn)一步可以證明S₁+S₂+…+S_n-1=n（S_n-1）

解答：（Ⅰ）解：∵數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，2a_n+1=a_na_n+1+1
∴n=1時(shí)，2a₂=a₁a₂+1，∴a2=

2

3

n=2時(shí)，2a₃=a₂a₃+1，∴a3=

3

4

n=3時(shí)，2a₄=a₃a₄+1，∴a4=

4

5

；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=

n

n+1

，
證明：①當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，由（Ⅰ）知結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak=

k

k+1

，
則n=k+1時(shí)，∵2a_n+1=a_na_n+1+1
∴ak+1=

1

2-ak

=

1

2- k k+1

=

k+1

(k+1)+1

即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立
由①②可知an=

n

n+1

；
（Ⅲ）解：由a_nb_n=1-a_n，可得bn=

1

n

∴S₁+S₂+…+S_n-1═（n-1）+

n-2

2

+

n-3

3

+…+

1

n-1

=n+

n

2

+

n

3

+…+

n

n-1

-1×（n-1）=n（1+

1

2

+…+

1

n

-1）=n（S_n-1）

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查等式的證明，解題的關(guān)鍵是由遞推式得出數(shù)列的通項(xiàng)．