Question

2．已知數(shù)列{a_n}，對于任意n∈N^*，都有a_n=n²-bn，是否存在一個整數(shù)m，使得當b＜m時，數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列？這樣的整數(shù)是否唯一？是否存在最大的整數(shù)？

Answer 1

分析 假設(shè)存在一個整數(shù)m，使得當b＜m時，數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，則${a}_{n+1}-{a}_{n}=[（n+1）^{2}-b（n+1）]-（{n}^{2}-bn）$=2n+1-b＞0，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}，對于任意n∈N^*，都有a_n=n²-bn，
假設(shè)存在一個整數(shù)m，使得當b＜m時，數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}=[（n+1）^{2}-b（n+1）]-（{n}^{2}-bn）$=2n+1-b＞0，
∴存在一個整數(shù)m，使得當b＜m時，數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，
且m=2n+1，n∈N^*．
滿足條件的整數(shù)m不是唯一的，但不存在最大值．

點評 本題考查滿足條件的整數(shù)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意配方法的合理運用．