Question

15．已知實數(shù)x，y滿足5$\sqrt{（{x-3）}^{2}+{y}^{2}}$=25-3x，x+y的最大值與最小值．

Answer 1

分析 可將原方程化簡整理，可得橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，運用參數(shù)方程，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最值．

解答 解：5$\sqrt{（{x-3）}^{2}+{y}^{2}}$=25-3x，
即有$\sqrt{（{x-3）}^{2}+{y}^{2}}$=5-$\frac{3}{5}$x，
兩邊平方可得，x²-6x+9+y²=25+$\frac{9}{25}$x²-6x，
化簡可得$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
即有方程表示焦點在x軸上的橢圓，
可設(shè)x=5cosα，y=4sinα，
則x+y=5cosα+4sinα=$\sqrt{41}$sin（α+θ）（θ為輔助角），
當(dāng)α+θ=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z時，x+y取得最大值$\sqrt{41}$；
當(dāng)α+θ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z時，x+y取得最小值-$\sqrt{41}$．

點評 本題考查方程的化簡和幾何意義，考查橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．